8. 부울대수

■부울대수 (boolean algebra)
논리계산을 형식화하여 논리식표현한 것

 

■ 모든 결과가 1이 나오게 한다는 가정하에 논리식을 보자!

0 이 1이 나오게 할려면 0` (보수! 즉 반대로)

 

■ 예제1

합항 : 덧셈, 논리합, OR이다.

A+B`+C+D`=0 을 만들려면? 모두 0으로 만들어라!

 

■예제2

곱항 : 곱셈, 논리곱, AND

A * B` * C * D` =1 을 만들려면? 모두 1로 만들어라!

 

 

■ 문제가 뭘 말하는거야? 진리표?
F = A+B` * C   

1 = A+B` * C  를 말함. 즉 1의 값을 내보낼 수 있는 것들은 무엇이 있는가? 이다. 라고 이해하자.

 

 

■부울대수의 법칙 :  교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립

 

■ 교환법칙 : A B 두 위치를 바꿔도 성립 

■ 결합법칙 : 

- B C 를 먼저하든, A B를 먼저하든 같다.

- 마찬가지로 BC를 먼저 곱하든, AB를 곱하든 같다!

 

■ 분배법칙 : 수학시간에 괄호 풀어헤치는 것.

 

■ (A+B) (A+C) 를 풀어보자. 순서대로 쭉 보자.

(A+B) (A+C)     (문제 시작!)

AA+AC+ AB + BC   (AA는 A가 될 수 있다)

A+AC+AB+BC

A(1+C+B)+BC  (여기서 1+C+B 는 OR 특성상 1이 된다. 뭘 더하든 1이 되니까!)

A(1)+BC   (여기서 A(1), 즉 A*1은 1인가? 아니다 A가 된다)

A+BC     (결과!)

 

■ 흡수 법칙 18번

A+A*B =  A(1+B)

1+B는  OR 특성상 1이 된다. (2번 참고)

그래서 A(1) 이 된다.

A*1 은 A가 된다 (4번 참고)

 

■ 흡수 법칙 19번

A (A+B) 

AA + AB      *7번참고

A + (AB)

A(1+B)    *18번으로 시작된다.

A(1)      *2번 참고

A

 

 

■드모르간의 정리  (나중에 심화학습함.)
- 변수들의 곱의 보수는 보수화된 변수의 합과 같음
- 변수들의 합의 보수는 보수화된 변수의 곱과 같음

 

- 곱셈을 덧셈으로, 덧셈을 곱셈으로

- 네거티브로 표현

 

■ 위의 규칙들을 풀이설명

 

■ 위의 규칙들을 풀이설명

 

■ 위의 규칙들을 풀이설명

A + A`B        // A는 흡수법칙에 의해 (A+AB) 로 변환 가능

(A+AB) + A`B      // A는 AA도 가능

(AA+AB) + A`B

AA + AB + AA` + A`B   // 여기서 AA`는 0이다.

(A+A`)(A+B)      //  (A+A`)는 1이다

1*(A+B)

A+B

 

 

■ 풀이

AB+ BC + A`C    // BC를 (A+A`)BC 로 만듬

AB+ (A+A`)BC + A`C   

AB+ ABC + A`BC + A`C    // AB+ABC 를 묶자.  마찬가지로 A`BC+A`C도 묶자

                                           // 참고로 B는 B*1이다. 마찬가지로 C는 C*1 이다. 밑줄친 부분

A(B*1+BC) + A`(C*1+BC)   // 방법1. 하나씩 묶은것. 

AB(1+C) + A`C(1+B)           // 방법2. 한번에 묶은 방법.  방법1은 과정을 한번더 세세하게 나눈거라 생각하자.

                                            // 1+C 와 1+B 는    1이 된다.

AB + A`C

 

 

 

■ 풀이

(A+B)(B+C)(A`+C)    

(A+B)(AA` + B+C)(A`+C)      // 추가된 AA`는 0이다. 넣어도 기존과 똑같으니까. 왜 넣어? 쉽게 풀어헤칠려고

(A+B+0)(A+B+C) (A`+B+C)(A`+0+C)     // 마찬가지다. +0을 넣어도 기존과 똑같으니까. 위와 마찬가지 이유로 넣음

                                                               // (AA` + B+C) 를 (A+B+C)(A`+B+C)로 풀어낼 수 있다.

 

(A+B+0)(A+B+C)    (A`+B+C)(A`+0+C)     // 여기까지 한 것을, 2개를 나눠서 보자. 

(A+B+0)(A+B+C)  >> (A+B+0*C)                     // 위에서 (A+B+0)(A+B+C) 에서 공통적인  A+B를 가져옴!

(A`+B+C)(A`+0+C)  >> (A`+0*B+C)                  // 위에서 (A`+B+C)(A`+0+C)  에서 공통적인 A`+C를 가져옴.

(A+B+0*C)  (A`+0*B+C)      // 위에서 나눠 본것들을 정리하면 이렇게 된다.

 

(A+B+0*C)(A`+0*B+C)               //  0*C 와 0*B는 0이다.

(A+B)  (A`+C)  

 

 

 

 

 

■ 학습정리

1. 부울대수의 법칙

2. 드모르간의 정리

• 변수들의 곱의 보수는 보수화된 변수의 합과 같음
  

  

• 변수들의 합의 보수는 보수화된 변수의 곱과 같음
  

  

3. 드모르간의 정리의 일반식