4. 부호표시의 개념

■ 부호비트

- 앞이 0이면 양수, 1이면 음수이다.

- 그러나 몇비트인지를 알아야한다. 예를들어 100이면 음수인가? 반드시는 아니다. 만약 4비트라는 조건이 달린다면 얘기가 달라진다. 0100이기 때문. 4자릿수가 되야하니까! 4비트! 그래서 0100은 숫자 4를 나타낸다.  

- 부호와 관련될 때는 몇비트인지를 반드시 먼저 확인하자! 중요!

 

■ 부호 - 크기 형식 : 
가장 좌측비트가 부호 비트, 나머지 비트들은 크기 비트로 크기 비트들은 양수나 음수와 관계없이 크기만을 표시(보수화되지 않은 참 2진수)

 

■ 참 2진수란?

- 양수, 음수에 관계없이. 우리가 알고 있는 2진수로 표현. 즉 여기서 말하는 크기 비트들은 좌측의 부호비트 +.-로 표현되는 숫자 이외의 단순한 숫자이다. 이 앞에 부호비트가 0, 1이냐에 따라 음수, 양수로 갈린다. 

 

■ 1의 보수 형식 : 양수표현은 부호 - 크기 시스템과 같은 방법으로 표현하고, 음수표현은 대응되는 양수의 1의 보수를 취함

 

■ 음수만 특이하다!

- 음수는 +25의 비트들을 반대로 해주면 된다. 0과 1을 바꿔주는 것이 1의 보수이니까! 

 

■ 2의 보수 형식 : 양수표현은 부호 - 크기 시스템 또는 1의 보수 형식과 같은 방법으로 표현하고, 음수표현은 대응되는 양수의 2의 보수를 취함

 

■ 2의 보수는 음수 어떻게 표현할까? 정리

- 뒤에서 처음 나타나는 0 전까지는 그대로 표현한다. 즉, 00011001 이면  뒤에서 처음 나타난 밑줄 0전까지는 그대로, 그 이후부터는 전부다 반대로 바꿔주면 된다. 그래서 11100111 이 된다. 빨간색 1은 그대로, 파란색은 0과 1을 바꾼것이다. 이게 2의 보수이다. 

 

■ 부호 크기는 앞만 1로 바꾼다.

■ 1의 보수는 숫자 반대로

■ 2의 보수는 1의 보수에 +1 해주면 된다. 위에서는 +1하니까  뒷자리만 1으로 바뀐다. 

 

 

■ 위의 부호 크기와 하는 방법이 같다.

■ 부호 크기는 맨 앞을 먼저 본다. 여기서는 1이니까 음수

■ 나머지 7비트는 가중치로 계산. 합하니까 21

■ 결론은 -21

 

■ 아래의 예제를 통해 알아보자

 

■ a

앞이 0이니까 양수. 나머지는 가중치로 합하면 끝

 

■ b : 방법이 2가지다.

11101000 을 그대로 본다. 

00010111 로 바꿔서 본다. 이게 위에서 [다른 방법]이다.  

 

■ a

앞이 0 이니 양수. 나머지는 가중치합으로

 

■b

- 먼저 앞이 1이니까 항상 음수인건 기억한다.

- 그다음 뒤에서 첫 1번까지는 그대로 쓴다. 즉 10101010  빨간색은 그대로 쓴다. 그리고 나머지 앞부분은 1과 0을 반대로!

- 01010110 이 된다. 빨간색은 그대로된 것이다. 파란색은 반대로 된 부분!

- 맨처음 언급한 음수를 기억하자! 잊지말것!

- 01010110 의 가중치합은 86이다. 거기에 -를 붙인다. 그러면 -86이다!

 

 

■ 중요하다! 값의 범위는 중요하다.

 

■ 정리

- 부호크기와 1의 보수는 나타낼 수 있느 범위가 같다.

- 근데 2의 보수는 1개 더 많다

- 근데 이 1개를 나타낼 수 있다는 점이 매우 큰 장점이다! 

 

 

 

 

■ 2의 보수일 경우의 범위

2^n 승이다. 즉 4비트면 16가지다. 왜? -8부터 +7까지이기 때문. 0포함해서. 그래서 16가지다.

 

 

 

■ 캐리 : 자리 올림

■ 최종 캐리 버림 : 최종적으로 자리 올림에 있는 것들을 버려버리는 것. 

 

■ 두 수 모두 양수 

그냥 더하면 된다. 끝

 

■ 양수와 크기가 더 큰 음수 

더한다. 그리고 나서 2의 보수로 바꿔서 계산하면 -8이 나온다. 11111000 에서 00001000 이니까.  그래서 -8이다.

 

■ 음수보다 크기가 더 큰 양수

더한다. 그런데 총9비트가 된다. 즉 캐리가 발생. 그래서 앞자리 1은 버린다. 나머지 가중치합하면 끝

 

■ 두 수가 모두 음수

- 마지막에 더한 것을 보자. 앞에 캐리가 발생한다. 그래서 버린다. 그런데 그렇게 버려도 1이 앞에 온다. 

- 즉,   1 1111 0010   빨간색 1을 버려도, 앞에 파란색 1이 있기에 음수 인 것이다. 

- 그리고 남은 1111 0010 을 2의 보수를 사용해서 바꿔준다. 파란색은 반대로. 빨간색은 그대로

- 잊지말자! 1은 음수이다. 마지막 값에 - 로 음수를 하는 것 잊지말자

- 00001110 이 된다. 가중치로 합하면 14이다. 여기에 -를 붙이면   -14이다. 

 

■ 오버 플로우 : 수의 범위를 넘어가는 것 

■ 레벨 255의 캐릭터가 있다. 근데 1업을 한다고 치자. 그러면 2^8 으로만 (0~255) 로만 표현할 수 있는 캐릭터는 그 이상의 레벨인 256레벨이 없기 때문에 표현할 수가 없다. 그래서 레벨이 255레벨을 넘어 0레벨로 돌아가게 된다. 이러한 현상이 오버플로우라고 보면 된다.  

 

■ 예제

10110111 은 음수이다.  여기서 2의 보수로 표현하자

01001001이다.  가중치로 합하면 73이다.

음수이니 -73이다. 

 

 

■ 그냥 더하면 된다.

■ 참고

만약 위의 0111 1111 에 +1을 하면?    1000 0000이 된다. 그리고 이는 -128이다. 왜?

-128 ~ +127  범위에서 127 다음 숫자는 +128이 아닌  -128이다.  

이처럼 보면 된다. 아랫쪽 127에서 +1을 하면 128이 없다. 대신 -128이 있다. 그렇기 때문에 -128이 나오는 것이다.

 

 

■ 뺄셈은 2의 보수로!

■ 뺄셈 - 로 계산할 때 2의 보수를 쓰면 +덧셈처럼 계산이 된다. 이는  10-9 = 1 을   10 + (-9) -=1  과 같이 표현하는 것이라 생각하자.

 

■ a

먼저 아래의 0000 0011 을 2의 보수로 표현. 1111 1101이 된다.

그리고 나서 앞에 올라온 캐리 1은 버린다.

0000 0101 은 앞이 0 이므로 양수다. 그리고 가중치합하면 5이다.  그래서 +5이다.  

 

 

■ 곱셈

 

■ 양수와 양수의 곱

■ 1001010 에  100을 곱한다.

■ 여기서 100은 4이다. 즉, 4번 곱하기다. 4번 곱하기는 4번을 더하는거랑 같으니까

■ 그래서 결론은 1001010을 4번 더하면 된다. 즉 74 + 74 + 74 + 74 이다. 

 

■주의점

- 어? 결과값  1 0010 1000은 앞자리가 1이니까 음수 아니에요? 아니다.

- 위에 결과값. 1 0010 1000 이다.  즉 8비트를 넘어선다. 

- 결과값이 자리수를 넘어서기 때문에, 좀 더 큰 틀에서 봐야한다고 한다. 기존 8비트 영역에서 표현하는 것이 아니기 때문에. 한마디로 위에서 직접 그렸던 시계를 생각하자. 127 다음에 -128이 왔던 이유는, 표현 범위가 한계가 있었기 때문.

- 하지만 지금은 범위가 늘어났다. 한마디로 12비트까지 표현가능하다. 즉 범위가 더 늘어났다. 그래서 그대로 보면 된다.

 

 

■ 양수와 음수의 곱

 

■ 순서

- 맨 처음 2의 보수로 바꿔준다.  즉 11000101(승수) 을 2의 보수로 바꾸면 00111011이 된다.

- 결과값을 2의 보수로 변환한다. 

- 마지막으로 앞에다가 부호비트 1을 추가하면 된다.  음수를 곱했으니까!  + x - 는 -니까.  그래서 앞에 1을 붙인다. 

 

 

■ 나눗셈

- 나눗셈 역시 2의 보수로 더하는 방법을 쓰자.

 

■ 예제. 두 수 모두 양수임을 알 수 있다.

 

■ 정리

- 1st. 문제의 뒤의 숫자 00011001 을 2의 보수로 바꿔준다. 그래서 1110 0111이 나온다.

- 1st. 결과값을 보면 앞에 1이 캐리된다. 즉 몫이다. 이를 버린다. 

- 1st. 결과값 1 01001011  이 된다. 빨간색은 버림!

- 2nd. 01001011을 또 한번 나눈다.  1 0011 0010 이 나온다. 위와 마찬가지로 1캐리는 버린다.

- 2nd. 다만 앞서 몫1이랑 방금나온 몫1은 더한다. 그래서 몫1+1 = 2 이다,

- 반복!

- 4th. 나머지를 보자. 앞의 1 캐리 제외하고 나머지 부분이 전부 0000 0000이다.

- 4th. 몫은 3+1이 되서 총 4이다. 

 

- 결과. 나머지는 0000 0000 이다. 그리고 몫은 4이다. 그래서 이를 8비트로 표현한, 2진수로 표현하면  0000 0100 (4)이 된다. 

 

 

 

 

 

■학습정리

 

1. 부호표시 수

• 컴퓨터와 같은 디지털시스템은 음수와 양수를 처리할 수 있고, 2진수에서 부호표시 수는 부호와 크기 정보로 구성되어 있음
• 부호는 양수와 음수를 나타내고, 크기는 수의 값으로 나타냄

2. 부호 - 크기 형식

• +26 → 0 0011010
• -26 → 1 0011010

3. 1의 보수 형식

• +26 → 00011010
• -26 → 11100101(00011010의 1의 보수를 취함)

4. 2의 보수 형식

• +26 → 00011010
• -26 → 11100110  (00011010의 2의 보수를 취함)

5. n비트로 표현할 수 있는 값의 범위

• 부호 - 크기 형식: -( 2^n-1  -1)~( 2^n-1  -1)
• 1의 보수 형식: -( 2^n-1 -1)~( 2^n-1   -1)
• 2의 보수 형식: -( 2^n-1 )~ ( 2^n-1  -1), 컴퓨터에서 가장 많이 사용하는 형식